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Les effets de marées. (Théorie statique) 1.1 Le système Terre-Lune. 1.1.1 Les potentiels.
G est la constante de gravitation, MT la masse de la Terre, ML la masse de la Lune, D la distance Terre-Lune Les expressions des potentiels de gravitation qui s'appliquent à un point M de la Terre sont:
Le potentiel dû à la Terre Il convient d'ajouter le potentiel d'entraînement dû à l'attraction de la Lune sur le référentiel de la Terre qui l'accélère et le rend donc non galiléen:
La somme des potentiels est Vtot = 1.1.2 Déformation terrestre. i. Hypothèses. L'hypothèse la plus simple consiste à considérer que la surface des mers est à tout instant en équilibre sous l'action des forces auxquelles elle est soumise. On considère que Vtot est une équipotentielle à la surface des mers. Une autre hypothèse simplifiant les calculs est de supposer que la Terre est sphérique et entièrement recouverte d'une couche d'eau liquide. De plus nous considérerons que la Terre est immobile et que l'on ne prend pas en compte le mouvement des particules. Nous avons aussi: or r £ 6400 km et <D> » 360 000 km. Nous pouvons donc effectuer un développement limité du
terme r en Alors en ne conservant que les termes en au plus
ou encore avec cte' = cte + En l'absence d'astre perturbateur; la couche liquide entourant le globe serait en équilibre par rapport à ce dernier sous l'action de la seule pesanteur. r = RT est la surface d'équilibre. En présence de la Lune, il y a des déformations dues aux effets de marée, de hauteur notée z. Alors r = RT + z définit la surface libre; tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de la surface d'équilibre (i.e. r = RT) Or z est de l'ordre de quelques mètres et RT =
6400 Km d'où On peut donc effectuer un développement limité de (2) au
premier ordre en Dans ces conditions r ² = R²T + 2 RTz
et On obtient avec A=cte' On a de plus D = 690 000 Km. Vu ces valeurs, on peut négliger
d'où en fin z = B + C cos²q (4) avec B = A Pour déterminer les constantes, nous écrivons que le volume de la couche liquide qui recouvre le globe est invariable ou encore que le volume compris entre la surface libre et la surface d'équilibre est nulle. ii. Forme de la surface libre. L'hypothèse vue précédemment implique:
d'où on obtient: C = - 3B (7) d'où en utilisant (5) et (6) : d'après (4) et (7) ; z = B (1-3cos²q ) z = z0 (3cos²q -1) (8)
avec z0 = -B =
avec les mêmes approximations que pour (3). On peut exprimer cosq =
en fin
On obtient finalement, l'équation de la forme de la surface libre:
C'est une ellipse dont le grand axe est dirigé vers la lune; les déformations dues aux effets de marée sont symétriques par rapport aux axes de l'ellipse. La forme de la surface libre est représentée en tirets sur la figure 2.Les différences de hauteur avec la surface d'équilibre(surélévation et dépression) constituent ce qu'on appelle improprement "le bourrelet liquide". Cette forme est dûe aux molécules d'eau qui se rendent vers la zone de la Terre qui est à l'opposé et face à l'astre. Il ne s'agit donc pas d'un soulèvement des masses d'eau. Bien que se renflement soit de l'ordre du mètre cele correspond à une masse considérable d'eau. Remarque sur l'influence du bourrelet liquide. On n'a pas tenu compte du potentiel du bourlet liquide. La présence de celui ci augmente d'environ 10% la hauteur de la marée statique. 1.2 Le système Terre-Lune-Soleil. 1.2.1 Stabilité du système.
Nous savons que d << D' de plus Mt = 6.1024 Kg << MS = 2.1030Kg La configuration dans laquelle le Soleil risque le plus de "capter" la Lune est lorsque celle-ci est la plus proche ou encore sur l'axe Terre-Soleil et entre les deux. L'accélération différentielle produite par le perturbateur (Soleil) est
Le satellite est arraché au primaire (Terre) si cette accélération est supérieure à celle de gravitation de la Terre GMtd-2 Soit un avec D' = 1,49.1011m La Lune serrait donc arrachée de son orbite par le Soleil si elle se trouvait au moins à 1 705 000 Km de la Terre, ce qui est bien supérieur au rayon maximum Terre-Lune de 406 000 Km. 1.2.2 Quadratures et syzygies. On considère tout d'abord le système Terre-Soleil. L'établissement du potentiel total ainsi que la forme de la surface libre se fait de la même manière que dans le cas Terre-Lune.
On obtient Vtot = Or r £ 6400 Km et D' = 1.49.1011m, on peut donc effectuer un développement limité du terme r' en r /D' On obtient un analogue à la relation (3):
or MT = 6.1024kg, MS = 2.1030kg et RT = 6400km.
En faisant les mêmes hypothèses que dans le cas du système Terre-Lune, on montre que la surface libre est une ellipsoïde dont le demi-grand axe est dirigé vers le soleil. A l'aide des expressions z on calcule la hauteur maximale des marées produites par la Lune puis par le Soleil sur la Terre: zLuneà Terre = 0,35 m zSoleil à Terre = 0,16 m On constate que l'influence du Soleil est moindre que celle de la Lune. Pour étudier l'action conjuguée du Soleil et de la Lune sur la Terre, on cosidère la superposition des effets des systèmes Terre-Lune et Terre-Soleil. Nous allons étudier deux types de configurations bien particulières: i Quadratures.
Cette configuration n'est possible que dans deux cas; lorsque l'angle (STL)=-p /2 ou p /2. Les astres sont dans deux méridiens terestres perpendiculaires. Alors, les grands axes des deux ellipsoïdes sont perpendiculaires et donc les effets conjugués de la Lune et du Soleil se retranchent. Ces situations correspondent du premier (p /2) et du dernier (p /2) quartier de Lune; on a alors de faibles marées dites marées de mortes eaux. ii. Syzygies.
Là aussi deux seules configurations sont possibles: (STL) = 0 ou p . Les grands axes des ellipses sont alignés. Les effets s'ajoutent, on a de fortes marées dites marées de vives eaux (environ tous les 15 jours). On se trouve à une nouvelle Lune ((SLT)=0) où à la pleine Lune ((STL)=p ). Les trois astres n'étant pas nécessairement alignés mais dans le même plan méridien terrestre. 1.2.3 Conséquences. La théorie statique considérant la Terre fixe, il faut recréer le mouvement apparent de la Lune et du Soleil dans le repère géocentrique. Dans le repère héliocentrique, la Lune tourne en 27 jours ¾ autour de la Terre qui tourne sur elle-même en 24h. La distance Terre-Lune est D et celle Terre-Soleil est D'. Celles-ci restent invariantes d'un repère à l'autre. Dans ce repère géocentrique, le mouvement apparent du Soleil est donc de 24h et celui de la Lune de 24h50. 1.2.4 Marées semi-diurnes. Supposons que l'astre soit situé dans le plan de l'équateur; la Terre faisant un tour sur elle-même en 24h; la marée solaire S2 aura une périodicité de 12h exactement. En effet, la forme de la surface libre étant une ellipse dont le grand axe est dirigé vers l'astre. Le point P, qui est initialement en P1 se trouvera 12h plus tard en P2, position où le renflement est exactement le même pour un observateur lié à la Terre. En P1 et P2, la marée est d'amplitude maximale et identique.
La marée S2 est alors semi-diurne, puisque sa période est égale à une demi-rotation terrestre. La Lune ayant un mouvement apparent de 24h50. La marée M2 due à la Lune a une périodicité de 12h25, elle est aussi semi-diurne. 1.2.5 Marée diurne. Supposons que l'astre n'est pas dans le plan de l'équateur. Ainsi le grand axe de l'ellipsoïde fait un angle diffèrent de p /2 avec l'axe des pôles. Donc les maximums de même amplitude des marées se produisent à des latitudes symétriques par rapport à l'équateur. Un point P1 à une latitude L1 voit une marée de hauteur z1 au temps t0; 12h plus tard, toujours à L1 mais en P'1,il verra une marée de hauteur z'1 différente de z1.
Par contre, les minimums d'amplitudes des marées en deux points à la même latitude sont égaux. A la périodicité semi-diurne des marées se superpose une inégalité diurne sur les maximums de la marée. On peut donc dire que les marées semi-diurnes ne disparaissent jamais alors que les marées à inégalité diurnes disparaissent lorsque l'astre est dans le plan de l'équateur. La modulation des marées dues respectivement à la différence des périodes de rotation apparente de la Lune et du Soleil autour de la Terre engendre, par effet de battement, des périodes plus longues de l'ordre de 14 jours. Pleines mers.Nous nous replaçons dans le repère géocentrique exposé précédemment, l'ellipsoïde représentant la surface libre tourne avec l'astre autour de la Terre supposée immobile en un jour de l'astre (24h50 pour la Lune, 24h pour le Soleil). en un lieu P, il y a pleine mer quand la distance zénithale est minimale, c'est à dire quand l'astre passe au méridien. Pour les points d'un même méridien, les pleines mer sont inégales, la plus grande a lieu aux point A et B. Basses mers.Il y a une basse mer en un lieu ou l'équateur de l'ellipsoïde y passe, c'est à dire quand l'astre est à l'horizon. Les deux basses mers d'un même jour sont égales et les même en tout point. 1.3 L'échec de la théorie statique. Comme nous l'avons vu précédemment, la hauteur du niveau de la mer dûe à la Lune sera au maximum de 35cm, il peut s'y ajouter au maximum 16cm dus au Soleil; ce qui fait 51cm. Nous sommes loin des 15m constaté au mont St Michel. De plus l'inégalité diurne devrait être nulle dans certaines régions équatoriales où elle est en fait très accentuée, et très forte sur les côtes de l'Europe à cause de leur latitude où elle est à peine sensible. Enfin ont a constaté un retard variable entre la grande marée et la syzygie qui la produit (âge de la marée). Mais aussi un retard de la pleine mer par rapport au passage de la Lune au méridien (établissement du port). L'hypothèse que nous avons faite, considérant que la surface des mers était à tout instant en équilibre sous l'action des forces qui la sollicitaient est inconciliable avec l'inertie des molécules liquide et la rapidité du mouvement de l'astre. En dehors de cette hypothèse même, une des raisons du désaccord avec la réalité réside dans le fait que la théorie statique néglige l'existence des continents. De plus la surface de la Terre est loin d'être sans asperitées et parfaitement sphérique.(Comme l'illustre la photographie suivante). La théorie statique des marées peut être considérée tout au plus comme donnant l'allure générale du phénomène, mais elle est absolument insuffisante pour des applications pratiques, c'est-à-dire pour conduire à des prédictions acceptables de la marée. Cette image relativement récente à été obtenu par mesure des variations de l'orbite de satellites météorologiques, celles-ci ont étées exagérées pour un meilleur rendu.
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Page mise à jour le 25/11/06 |
+
(1)
,
et en utilisant (1) on obtient:
=
cte' (2)
» e
(3)
- 
avec MT = 81 ML , RT = 6400 Km et
.
(5) et C = 
(6)
'
+
=
est faible puisque r T = 5.5 kg/m3 et r S
» 1kg/m3 et RS = 700 000km.
