Les ondes de marées (Théorie dynamique).

2.1 Nécessité d'une théorie dynamique, Hypothèses fondamentales.

L'échec de la théorie statique des marées, lorsque l'on compare à l'observation les déductions que l'on en tire, montre que l'hypothèse initiale, c'est à dire que la couche liquide prend à chaque instants la figure d'équilibre correspondant à la position de l'astre à cet instant, est inconciliable avec la rapidité du mouvement de l'astre.

Les particules liquides, sollicitées constamment vers une position d'équilibre, ont tendance à la dépasser et à accomplir des oscillations réglées par les lois de la dynamique. Le problème doit donc être abordé sous son aspect dynamique: la théorie correspondante doit tenir compte de l'état de mouvement des particules liquides et prendre en considération les forces d'inerties.

On montre en effet que les phénomènes de marée entretiennent dans les océans un phénomène ondulatoire dans lequel les particules décrivent des trajectoires sensiblement elliptiques situées dans un plan verticale et très allongé: ce déplacement verticale constitue la marée alors que le déplacement horizontale est le courant de marée.

L'existence de mouvement oscillatoire suffit à infirmer la théorie de l'équilibre.

2.1.1 Principe des oscillations forcées.

Sous l'influence d'une force perturbatrice de l'équilibre et si cette force est rigoureusement périodique, le mouvement de la mer est périodique et de même période que l'astre.

2.1.2 Principe de superposition des petits mouvements.

Selon ce principe "le mouvement total d'un système soumis à de très petites forces est la somme des mouvements partiels que chaque force lui imprime" (P.S.Laplace).

Il correspond à chacun d'eux une marée partielle de même période et la somme de ces mouvements représente la marée.

Une force périodique non seulement fait naître une oscillation de même période, mais encore engendre des oscillations supérieures dont les périodes sont des sous multiples de celle de l'oscillation fondamentale.

2.2 Théorie dynamique des marées.

La théorie dynamique de Laplace découle immédiatement des principes précèdents.

Il est en effet possible de décomposer la forme z de la surface libre causée par un perturbateur sur la Terre en une série illimitée de termes rigoureusement périodiques dont les fréquences dépendent de la rotation terrestre et des caractéristiques du mouvement de l'astre.

La hauteur de l'eau serra obtenue en faisant la somme de tous ces termes dépendent des conditions hydrauliques, donc de la forme arbitraire des continents et des irrégularités de la profondeur des océans, c'est-à-dire du lieu géographique.

2.2.1 Le cas à deux corps.

La Lune se déplaçant autour de la Terre, pour étudier la variation de hauteur d'eau résultante de la force génératrice des marées représentée par l'ellipsoïde, on introduit l'angle horaire H de la Lune qui varie donc proportionnellement au temps.

Si l'on veut faire apparaître la rotation de la Terre sur elle-même, on écrit H = (n t - G) - a avec n la vitesse angulaire de rotation de la Terre, t terme sidérale du méridien origine et a l'ascension droite de l'astre.

où d est la déclinaison de l'astre et l la latitude du point.

On a:

OM = R_T.U_r(M) = R_T [ sin l U_z + cos l U_r(m)]

OT = R_T U_r(T) = R_T [ sin d U_z + cos d U_r(T)]

soit q = l - d

q représente la différence de latitude entre la latitude de T et celle de M.

D'où

OM.OT = R²_T.cos q = R²_T[ sin l. sin d + cos l. cos d .U_r(m).U_r(T)]

= R²_T[ sin l. sin d + cos l. cos d . cos H]

 

on obtient cos q = sin l. in d + cos l. cos d . cos H

Les variations de z étant très faible devant R_T on considère que r est constant.

On peut donc écrire l'équivalent de (8) sous la forme:

avec M_A la masse de l'astre et D la distance entre le centre de la Terre et de l'astre.

En injectant cos q on obtient:

(9)

Nous voyons donc apparaître trois termes de périodicité différente:

i. Un terme en cos2H semi-diurne.

H variant de 0 à 2p en 24h pour le soleil et 24h 50 pour la Lune, le terme en cos2H aura 2 maximums en une période de rotation de l'astre. Le coefficient de ce terme varie lentement avec le temps. Comme d varie de 23° à -23° pour le Soleil et de 28° à -28° pour la Lune, cos²d ne diffèrent de l'unité que de 20% au plus. La modulation du coefficient par le mouvement de l'astre n'a donc pas une très grande amplitude.

Le temps est donné en heures.

2. Un terme en cosH diurne;

dont le coefficient est également modulé par le mouvement de l'astre mais l'amplitude est beaucoup plus variable puisque sin2d peut varier en valeur absolue de 0 à 0,8. Ce terme s'annule lors des équinoxes mais aussi lorsque le point se trouve à l'équateur à cause du sin2d .



3. Un terme indépendant de l'angle horaire;

dit à longue période comme sin d figure par son carré la période est de 14 jours pour le terme solaire et de 6 mois pour le terme solaire.

Cette méthode calculatoire nous permet de retrouver les périodicités que nous avions aperçue par un raisonnement simple, notamment la périodicité semi-diurne et diurne. Nous avions remarqué que la première ne disparaissait jamais ce qui correspond au coefficient cos²l.cos²d du terme en cos2H de l'expression de z, alors que la seconde disparaissait quant l'astre est dans l'équateur où que le point y était, ce qui est mis en évidence par le coefficient sin²l.sin²d du terme en cosH.

La somme des deux termes solaires sont de la forme:

2.2.2 Le cas Terre-Lune-Soleil.

L'analogie des graphes précèdent nous donnent pour une latitude et pour un mois civil la simulation précédente. (en supposant que la Lune et le Soleil partent initialement du même méridien). Le premier schéma étant la composante lunaire d'angle horaire H et le second solaire H', alors que le troisième est proportionnel à ce que sont les marrées dues au Soleil à la Lune.

Les actions conjuguées du Soleil et de la Lune sur La Terre provoquent donc une hauteur z exprimable sous la forme de six termes : trois lunaires et trois solaires.

Les termes solaires étant analogues à la relation (9) en attribuant l'exposant ' pour les termes relatifs au soleil.

Cependant comme Laplace en a fait l'hypothèse, z est de même période que la force qui l'anime, c'est-à-dire la force génératrice des marées.

z représente la réponse à la force, il n'est pas en phase et n'a pas la même amplitude que celle-ci;

On peut donc écrire z sous la forme:

(10)

où P est le rapport de la parallaxe lunaire R_T/D à sa valeur moyenne.

Les constantes de Laplace sont déterminées à partir d'un grand nombre d'observation de la hauteur z de l'eau à des instants connus t, toutes les heures par exemple, en un lieu donné.

A l'aide des relevés fait à Brest, Laplace à déterminé les constantes:

h₀ = 2346 mm h₁ = 108 mm h₂ = 84 mm l = 48° m = 35°

h'₀ = 782 mm h'₁ = 36 mm h'₂ = 28 mm l ' = 67° m ' =54°

On voit que ce qui signifie que la variation du niveau de l'eau du la Lune est trois fois plus importante que celle du Soleil.

Ce résultat est en accord avec la théorie statique où l'on obtient un rapport égal à .

Dans l'expression (9), h₀ et h'₀ représente des coefficients associés au terme semi-diurne alors que h₁ et h'₁ correspondent au terme diurne.

On a 22

Selon la théorie précédente, on a le rapport du terme semi-diurne au terme diurne égale à: car on regarde l'influence de la latitude du lieu d'observation.

Pour pouvoir comparer avec le résultat expérimentaux, il faut se placer à la latitude de la France, soit l » 45°, on trouve R = ½.

On observe une grande différence entre les deux formules, ce qui confirme la validité de celle de Laplace; qui est en accord avec le phénomène observé.

Ainsi, sur une grande partie du littoral français, la marée semi-diurne est considérablement renforcée alors que la marée diurne y conserve une amplitude très faible. La formule de Laplace y trouve alors un domaine privilégié d'application car elle fournit une bonne représentation de la marée semi-diurne.

Le coefficient de la marée.

Depuis Laplace, on a beaucoup discuté de la définition du coéfficient de marée.

Actuellement on le considère comme le quotient de la hauteur atteinte par la pleine mer semi-diurne au dessus du niveau d'équilibre par l'unité de hauteur de ce port (3,21m à Brest), ce qui revient à calculer les hauterus de marée à Brest avant les coefficients.

Le coefficient est exprime en centième, 95 correspond à la moyenne des marées de vives eau et 45 correspond à la moyenne des marées de morte eau.

Il varie de 20 à 120. Les marées de coefficient compris entre 75 et 84 sont les plus fréquents: environ 17,5% soit près de une sur six.

Cette definition reste valable dans le cas où la marée diurne est négligeable vis à vis de la marée semi-diurne.

Cette condition est bien sur vérifiée à Brest mais aussi sur une grande partie du littoral français.

La notion de coefficient de marée n'est utilisé effectivement que pour la France et les pays qui suivent l'école française (Belgique, Espagne)

Les anglais font eux appel à l'amplitude de la marée à Douvre.

2.3 Les marées équinoxiales en France.

Comme on vient de le voir, la formule de Laplace conduit à des résultats qui s'accommodent de façon satisfaisante avec la réalité pour les lieux où la marée diurne est faible, ce qui est notre cas.

Pour étudier les marées équinoxiales en France, on utilise la formule (10) avec les coefficients pris à Brest;

On peut négliger les termes à longues période lunaire et solaire, même si leur amplitude n'est pas très petite, car ils ont seulement pour effet, en raison de la lenteur des mouvements de l'eau qui leur correspond, de décaler d'une même quantité les hauteurs des pleines et basses mers d'une même journée.

Nous supposons donc que, dans la formule (6), la hauteur de l'eau est exprimée uniquement par les termes semi-diurnes lunaires et solaires:

(11)

Dérivons (11) par rapport à d ', oa a:

pour sin d ' = 0 donc d ' = 0

ou cos d ' = 0 donc d ' = p /2

or -23° < d ' < 23°

La seule valeur de d ' pour laquelle la hauteur z est maximale est d ' = 0, ce qui correspond bien à une situation d'équinoxe, la déclinaison solaire étant nulle.

Ainsi, les plus grandes marées en France, se produisent à l'équinoxe.

On peut noter que les marées en France, se produisant à l'équinoxe.ont plus ou moins d'amplitudes selon le sannées, du fait que les phénomènes qui les produisent ne se manifeste pas toujours au même moment.

En effet, la marée la plus grande devrait se réaliser lorsque coincide toute les conditions:

2.4 Lignes cotidales et point amphidromique.

D'après la théorie statique, les marées devraient se propager vers l'ouest, c'est souvent faux (dans la Manche d'ouest en est, dans l'Atlantique nord, du sud au nord).

Ceci est du au fait qu'il faut tenir compte de l'existence des continents et de la force de Coriolis.

On appelle ligne cotidale le lieu des points où la pleine mer se produit au même instant.

Les lignes cotidales concourent parfois toutes en un point où l'heure est indéterminée par ce que la marée y est nulle à chaques instant: ce sont les points amphidromiques autour des quels tourne les marées.

Déjà en 1836, Whewell en considérant les heures des pleines mers sur les cotes de l'Angleterre, de Belgique et des Pays Bas, avait prévu l'existence d'un tel point en mer du nord, point dont l'existence devait être vérifié en 1840.

2.5 Dissipation d'énergie et conséquence.

La Terre effectuant une rotation par jour, un courant de marée se déplace sur le fond des océans.

Ce phénomène de friction conduit à une perte d'énergie mécanique sous forme de chaleur.

La majorité de cette énergie est en fait perdue dans les mers peu profondes et près des rivages, là ou les marées buttent contre les continents.

Cette dissipation d'énergie diminue l'énergie de rotation de la Terre de telle sorte que la longueur du jour augmente d'environ 0,002 seconde par siècle.

La Terre exerce sur la Lune des marées 20 fois plus hautes, il en résulte une énorme dissipation d'énergie, la période de rotation de cette dernière décroît jusqu'à ce qu'elle montre toujours la même face à la Terre.

La stabilité de cette rotation synchrone est due à la figure irrégulière de la Lune qui est légèrement allongé en direction de la Terre.

Le système Terre-Lune peut, en première approximation être considéré comme isolé, son moment cinétique doit donc rester constant.

Les marées ralentissent la rotation de la Terre, donc son moment cinétique.

Pour conserver le moment total, le moment de la Lune doit croître.

La Lune s'éloigne de la Terre d'environ 3 cm par an.

D'après la troisième loi de Kepler, on a avec P = période de révolution de la Lune et a le rayon de l'orbite lunaire.

Comme a augmente, P doit augmenter.

Ainsi, le mois lunaire doit croître. Dans un futur lointain, le mois et le jour deviendrons de la même longueur, égaux à environ 50 de nos jours actuels.

En fait la Terre entraîne les océans dans la rotation et l'axe des renflements n'est pas exactement dirigé suivant la direction Terre-Lune, mais se trouve toujours un peu en avance sur cette direction.

Il s'ensuit que les masses océaniques sont soumises de la part de la Lune à un couple retardateur qui, par friction sur le font des océans, est transmis à la Terre, d'où le ralentissement séculaire de la rotation terrestre et l'augmentation concomitante de la durée du jour dont nous avons déjà parlé.

Par contre, si la période de révolution lunaire était inférieur à 24h (période de rotation de la Terre), la direction Terre-Lune se déplacerait plus vite que l'axe des renflements et l'action de la Lune produirait, au contraire, un couple accélérateur sur la Terre, et la durée du jour diminurait.

On connaît des exemples de ce genre dans le système solaire, par exemple Mars et son satellite Phobos.

A noter que lorsque la période de révolution du satellite est très exactement égale à la période de rotation de la planète mère, le couple s'annule: le satellite est alors dit en orbite synchrone.

Page mise à jour le 25/11/06