Introduction

 Notre but sera de montrer comment évolue en fonction du temps et de différents paramètres, que nous expliciterons plus tard, l'énergie totale d'un pendule dans divers cas possibles . Pour cela, nous établirons l'équation du mouvement et celle de l'énergie totale que nous tenterons de résoudre de manière littérale tant que cela est possible et lorsque cela s'avérera infaisable nous recourrons aux algorithmes de Runge-Kutta d'ordre quatre.

Nous établirons des tracés théoriques reflétant le système dans des états différents que nous confronterons dans la partie expérimentale avec des mesures. Grâce à ces résolutions par ordinateur nous chercherons à comprendre l'influence des divers coefficients présents dans l'équation différentielle représentant le mouvement sur le comportement du pendule.

En outre sera exposé le programme en "pascal" mettant en oeuvre le procédé de Runge-Kutta.

Mais tout d’abord établissons l’équation du mouvement pour une demi-période à l’aide de la relation:

dEm=å W forces non conservatives

En effet, si l’on tient compte des forces de frottements, l’énergie mécanique totale d’un système ne reste plus constante. Une part plus ou moins grande de cette énergie est transformée en chaleur.Elle correspond au travail des forces de frottements. l

dEm =F.dr = (qv² +sv +d ) ldq

Où q et s sont des coefficients de frottements fluides, d le coefficient de frottement solide.

Les forces non conservatives sont des forces de frottements solide et fluide dont les directions sont identiques entre elles et égales à celle de la vitesse donc à celle de dr. La force de frottement solide est indépendante du temps et s’oppose toujours au mouvement ; c’est donc une constante dont le signe varie en fonction de celui de la vitesse. Pour des vitesses faibles, la résistance de l’air est due principalement à sa viscosité, c’est-à-dire au frottement de l’air sur les parois latérales du corps en mouvement, elle est alors proportionnelle à la vitesse.Pour des vitesses plus grandes, il apparaît des phénomènes différents : l’air est compréssé en avant du corps en mouvement, tandis qu’il se forme en arrière un sillage où la pression est plus faible qu’à l’avant et où l’air est animé de mouvements turbulents .Dès que ces phénomènes cessent d’être négligeable, la résistance croît plus vite que la vitesse ; pour nos valeurs de vitessese qui resterons assez faibles (de l’ordre du m/s) nous considèrerons que ces phénomènes peuvent être représentés par une force de frottement en v² .

Em = 1/2mv²+mgl(1-cosq )

 avec m masse du pendule que l’on considère ici comme étant centré à la distance l de l’axe de rotation.

dEm = (qv² + sv + d ) ldq

=ml² dq /dt d(dq /dt) + mgl sinq dq = (ql² (dq /dt)² + sl dq /dt + d ) ldq

On a donc

ml² d²q /dt² + mgl sinq = ql³ (dq /dt)² + sl² dq /dt + d l

d²q /dt² - ql/m (dq /dt)² - s/m dq /dt - d /lm + g/l sinq =0

En posant : a = -ql/m

b = -s/m

c = -d /lm

On obtient l’équation du pendule simple amorti pour une demi-période :

dq ²/dt² + a(dq /dt)² + b dq /dt + g/l sinq = -c

Ce qui nous donne pour plusieurs oscillations :

Avec pulsation propre de l’oscillateur non amorti

c : coefficient de frottement solide

b : coefficient de frottement visqueux

a : coefficient quadratique de frottement fluide.

Notre pendule est rigide et possède a son extrémité une plaque de polystyrène oscillant dans son propre plan et de taille variable.

Page mise à jour le 25/11/06